正交矩阵 是线性代数中一个非常重要的概念，在几何变换、信号处理、物理学等领域都有广泛的应用。
1. 定义
一个
n
×
n
n \times n
n×n 的实矩阵
Q
Q
Q 被称为正交矩阵，如果它满足以下条件：
Q
T
Q
=
Q
Q
T
=
I
Q^T Q = Q Q^T = I
QTQ=QQT=I
其中，
Q
T
Q^T
QT 表示
Q
Q
Q 的转置矩阵，
I
I
I 表示
n
×
n
n \times n
n×n 的单位矩阵。
2. 性质
正交矩阵具有以下重要性质：
- 行列式：正交矩阵的行列式 det ( Q ) \det(Q) det(Q) 只能是 1 1 1 或 − 1 -1 −1。
- 逆矩阵：正交矩阵的逆矩阵 Q − 1 Q^{-1} Q−1 就是它的转置矩阵 Q T Q^T QT，即 Q − 1 = Q T Q^{-1} = Q^T Q−1=QT。
- 保持向量长度：如果 Q Q Q 是正交矩阵，那么对于任意向量 v \mathbf{v} v，有 ∥ Q v ∥ = ∥ v ∥ \|Q\mathbf{v}\| = \|\mathbf{v}\| ∥Qv∥=∥v∥，即正交矩阵保持向量的长度不变。
- 保持内积：正交矩阵保持向量的内积不变，即对于任意向量 v \mathbf{v} v 和 w \mathbf{w} w，有 ( Q v ) ⋅ ( Q w ) = v ⋅ w (Q\mathbf{v}) \cdot (Q\mathbf{w}) = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} (Qv)⋅(Qw)=v⋅w。
3. 几何意义
正交矩阵在几何上对应于保持长度和角度的线性变换，主要包括旋转和反射。
- 旋转：如果 det ( Q ) = 1 \det(Q) = 1 det(Q)=1，则 Q Q Q 表示一个旋转矩阵，它对应于在 n n n 维空间中的一个旋转操作。
- 反射：如果 det ( Q ) = − 1 \det(Q) = -1 det(Q)=−1，则 Q Q Q 表示一个反射矩阵，它对应于在 n n n 维空间中的一个反射操作。
4. 构造方法
正交矩阵可以通过以下几种方法构造：
- Gram-Schmidt 正交化：通过对一组线性无关的向量进行 Gram-Schmidt 正交化过程，可以得到一组正交向量，这些向量构成的矩阵是正交矩阵。
- 旋转矩阵：在二维空间中，旋转矩阵的形式为：
R ( θ ) = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} R(θ)=(cosθsinθ−sinθcosθ)
在三维空间中，绕某个轴的旋转矩阵也可以类似构造。 - 反射矩阵：反射矩阵可以通过反射某个向量得到，例如在二维空间中，反射矩阵的形式为：
R = ( cos 2 θ sin 2 θ sin 2 θ − cos 2 θ ) R = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix} R=(cos2θsin2θsin2θ−cos2θ)
5. 应用
正交矩阵在多个领域有重要应用：
- 计算机图形学：用于实现三维图形的旋转、缩放和平移等变换。
- 信号处理：在傅里叶变换和离散余弦变换中，正交矩阵用于信号的频域分析。
- 量子力学：在量子态的演化和测量中，正交矩阵用于描述量子态的变换。
